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Jean marie monier algebre pdf

Les jean marie monier algebre pdf euclidiens possèdent une longue histoire ainsi que de nombreuses applications. Les relations entre cet outil et le reste des mathématiques sont multiples et variées, depuis la logique et l’algèbre jusqu’aux géométries non euclidiennes. Cet aspect est traité dans l’article  Géométrie euclidienne .

Articles détaillés : Vecteur et Produit scalaire. Dans le cadre de la construction des vecteurs à l’aide des classes d’équivalence de bipoints sur un espace affine, une première définition du produit scalaire peut être obtenue. Toutefois, dans le cas général, ce formalisme s’avère à la fois lourd et peu adapté pour, par exemple, l’étude des propriétés topologiques d’un espace euclidien. Le cercle d’Euler est un exemple de propriétés démontrables dans le cadre d’un espace euclidien.

Cette définition permet de formaliser un espace disposant de la même  géométrie du triangle , que celle fondée sur les célèbres postulats décrits les Éléments d’Euclide. Un exemple classique est donné par le cercle d’Euler disposant de neuf points remarquables. Un espace affine euclidien est un espace affine dont la direction est un espace vectoriel euclidien. Dans le cas d’un espace affine, la distance entre deux points a et b est égale à la norme du vecteur d’extrémités a et b. Tout espace euclidien, vectoriel ou affine, est donc muni d’une structure d’espace métrique. On dit que deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

La norme associée est appelée  norme de Frobenius . L’espace ℂ des nombres complexes est un plan euclidien, le produit scalaire de deux complexes x et y étant la partie réelle du produit de x par le conjugué de y. De manière plus générale, tout espace hermitien de dimension n hérite d’une structure d’espace euclidien de dimension 2n, avec comme produit scalaire la partie réelle du produit scalaire d’origine. Articles détaillés : Inégalité de Cauchy-Schwarz et Inégalité de Minkowski. Deux majorations sont largement utilisées dans l’étude des espaces euclidiens. L’égalité n’a lieu que si x et y sont colinéaires. L’égalité n’a lieu que si x et y sont colinéaires et de même sens.

Cette majoration correspond au troisième axiome définissant une norme, dit de sous-additivité ou inégalité triangulaire. On dispose pour cela de trois  formules de polarisation  ou  formes polaires . La sphère unité d’un espace vectoriel euclidien est une quadrique compacte non dégénérée centrée en 0. Réciproquement, toute quadrique compacte de E non dégénérée et centrée en 0 est la sphère unité d’un unique produit scalaire sur E. Tout changement de repère préserve cette propriété.

Dans un espace vectoriel euclidien, une famille de vecteurs est dite orthonormale si ses vecteurs sont unitaires et deux à deux orthogonaux. Toute famille de vecteurs non nuls et orthogonaux deux à deux est libre. Soient F un sous-espace vectoriel de E et x un vecteur de E. On prouve ainsi l’existence d’un tel projeté, et son unicité est garantie par le fait que F et son orthogonal n’ont en commun que le vecteur nul. Fourier, et la somme de leurs carrés est inférieure ou égale au carré de la norme de x. On prouve ainsi l’existence de bases orthonormales pour un espace euclidien, par récurrence sur sa dimension.

Tout espace euclidien possède une base orthonormale. Soient E, F et p comme ci-dessus. La projection orthogonale p est un projecteur sur F, c’est-à-dire une application linéaire et idempotente d’image F. Dans un espace vectoriel euclidien, tout sous-espace et son orthogonal sont supplémentaires. F le plus proche de x.

Orient : Le site ancien de Jéricho — 1096 : début de la première croisade. 1130 : début de la construction de la cathédrale de Sens, première représentation en Allemagne d’un rouet à ailettes. Technique de l’alliage or, que celle fondée sur les célèbres postulats décrits les Éléments d’Euclide. 600 : Invention mythique d’un grand nombre d’outils par Dédale et ses imitateurs : scie, 1469 : Francesco di Giorgio Martini ingénieur des eaux à Sienne. Le Livre des métiers d’Ypres : métiers à quatre marches et deux ouvriers. Généralisation du débitage Levallois en Europe; 1000 : Le cheval apparaît en Grèce.